kleinstes gemeinsames Vielfache
Du kannst eine ganze Zahl vervielfachen, indem du sie mit einer beliebigen ganzen Zahl multiplizierst. Wenn du die Zahl 12 mit 2 oder 3 multiplizierst, erhältst du das Vielfache 24 (12 · 2) bzw. 36 (12 · 3). Wenn du nun die Zahl 18 mit 2 oder 3 multiplizierst, erhältst du das Vielfache 36 (18 · 2) bzw. 54 (18 · 3). Diese beiden Zahlen haben jeweils Vielfache, die bei beiden Zahlen vorkommen. Diese Vielfache werden als gemeinsame Vielfache bezeichnet. Bei den Zahlen 12 und 18 wären die gemeinsamen Vielfachen 36, 72 und 108. Ein besonderes und wichtiges dieser Vielfachen ist das Vielfache 36. Es stellt das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 12 und 18 dar. Dieses Vielfache wird auch kleinstes gemeinsames Vielfaches (kgV) genannt. Du benötigst es in der Bruchrechnung bei der Hauptnennersuche.
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von beiden Zahlen ist.
Wenn du das kleinste gemeinsame Vielfache berechnen sollst, benötigst du die Primfaktorenzerlegung. Hierbei zerlegst du eine Zahl in ihre kleinsten Bestandteile, die so genannten Primzahlen. Eine Primzahl ist eine besondere Zahl, die nur durch 1 und sich selbst ganzzahlig (ohne Rest) teilbar ist. Die Zahl 5 ist eine Primzahl, da sie nur durch 1 und sich selbst (5) ganzzahlig teilbar ist: Teilst du die 5 ganzzahlig durch 2, lautet dein Ergebnis 5 : 2 = 2 Rest 1. Da ein Rest übrig bleibt, ist sie nicht ganzzahlig durch 2 teilbar. Teilst du sie ganzzahlig durch 3, erhältst du wieder einen Rest (5 : 3 = 1 Rest 2). Teilst du sie ganzzahlig durch 4, erhältst du erneut einen Rest (5 : 4 = 1 Rest 1). Erst wenn du sie wieder durch 5 teilst, kommt ein Rest von 0 heraus. Daher hat die Zahl 5 nur den Teiler 1 und 5. Die Zahl 6 ist dagegen keine Primzahl. 6 ist durch 2 ganzzahlig teilbar (6 : 2 = 3 Rest 0) ebenso durch 3 (6 : 3 = 2 Rest 0). Daher hat die Zahl 6 mehrere Teiler als nur 1 und 6 und ist daher keine Primzahl.
Bei der Primfaktorenzerlegung teilst du deine Zahl so lange durch die erste Primzahl, bis sie nicht mehr ganzzahlig teilbar ist. Das erkennst du daran, dass du ein Rest größer 0 erhältst. Ist dies der Fall, teilst du deine Zahl so lange durch die nächste Primzahl, bis auch sie nicht mehr ganzzahlig teilbar ist (Rest größer 0). Anschließend teilst du deine verbleibende Zahl durch die nächste Primzahl usw. Bleibt am Schluss noch die Zahl 1 übrig, bist du mit der Primfaktorenzerlegung fertig.
Hast du nun auf diese Weise jede Zahl zerlegt, musst du nur noch die einzelnen Bestandteile miteinander multiplizieren, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu erhalten.
| So suchst du das kleinste gemeinsame Vielfache: | So sieht's aus: |
|---|---|
| Du sollst von diesen beiden Zahlen das kleinste gemeinsame Vielfache suchen: | 12 18 |
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1.
Zerlege deine erste Zahl in ihre Primfaktoren. Teile sie zuerst durch die 1. Primzahl, die 2: 12 : 2 = 6 Rest 0. Die 12 ist ganzzahlig durch 2 teilbar, du hast damit den ersten Primfaktor gefunden: die 2! |
12:2=6 Rest 0 12 → 2 |
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2.
Teile nun die 6 erneut durch die 1. Primzahl: 6 : 2 = 3 Rest 0. Die 6 ist auch ganzzahlig durch 2 teilbar, du hast damit den zweiten Primfaktor gefunden: die 2! |
6:2=3 Rest 0 12 → 2·2 |
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3.
Teile nun die 3 erneut durch die 1. Primzahl: 3 : 2 = 1 Rest 1. Die 3 ist nicht ganzzahlig durch 2 teilbar. |
3:2=1 Rest 1 12 → 2·2 |
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4.
Daher teilen wir die 3 durch die 2. Primzahl, die 3: 3 : 3 = 1 Rest 0. Die 3 ist auch ganzzahlig durch 3 teilbar, du hast damit den dritten Primfaktor gefunden: die 3! |
3:3=1 Rest 0 12 → 2·2·3 |
|
5.
Übrig bleibt noch die 1, damit bist du mit der Primfaktorenzerlegung fertig. Die Zahl 12 besteht daher aus den Primfaktoren 2 · 2 · 3. |
12 → 2·2·3 |
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6.
Zerlege deine zweite Zahl in ihre Primfaktoren. Teile sie zuerst durch die 1. Primzahl, die 2: 18 : 2 = 9 Rest 0. Die 18 ist ganzzahlig durch 2 teilbar, du hast damit den ersten Primfaktor gefunden: die 2! |
18:2=9 Rest 0 18 → 2 |
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7.
Teile nun die 9 erneut durch die 1. Primzahl: 9 : 2 = 4 Rest 1. Die 9 ist nicht ganzzahlig durch 2 teilbar. |
9:2=4 Rest 1 18 → 2 |
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8.
Daher teilen wir die 9 durch die 2. Primzahl, die 3: 9 : 3 = 3 Rest 0. Die 9 ist ganzzahlig durch 3 teilbar, du hast damit den zweiten Primfaktor gefunden: die 3! |
9:3=3 Rest 0 18 → 2·3 |
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9.
Teile nun die 3 erneut durch die 2. Primzahl: 3 : 3 = 1 Rest 0. Die 3 ist auch ganzzahlig durch 3 teilbar, du hast damit den dritten Primfaktor gefunden: die 3! |
3:3=1 Rest 0 18 → 2·3·3 |
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10.
Übrig bleibt noch die 1, damit bist du mit der Primfaktorenzerlegung fertig. Die Zahl 18 besteht daher aus den Primfaktoren 2 · 3 · 3. |
18 → 2·3·3 |
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11.
Aus den ganzen Primzahlen baust du dir jetzt dein kleinstes gemeinsames Vielfaches: Vom der ersten Zahl benötigst du alle Bestandteile (2 · 2 · 3). |
12 → 2·2·3 kgV → 2·2·3 |
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12.
Die zweite Zahl besteht aus den Bestandteilen 2 · 3 · 3. Du benötigst jedoch nur den drittem Bestandteil (die 3), da du die beiden Bestandteile 2 · 3 bereits von der ersten Zahl verwendet hast. |
18 → 2·3·3 kgV → 2·2·3·3 |
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13.
Dein kleinstes gemeinsames Vielfaches der Zahlen 12 und 18 beträgt daher 36 (2 · 2 · 3 · 3 = 36). |
kgV → 2·2·3·3 kgV → 36 |
Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste natürliche Zahl, die Vielfaches von beiden Zahlen ist.
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