Menge der natürlichen Zahlen

Die Menge der natürlichen Zahlen ist die kleinste Zahlenmenge. Sie steckt als Teilmenge in allen weiteren Zahlenmengen. Sie enthält alle positiven Zahlen, also alle Zahlen, die größer als die Zahl 0 sind und keine Nachkommastellen (Dezimalen) haben. Die erste bzw. kleinste natürliche Zahl ist die Zahl 1. Jede natürliche Zahl besitzt einen Nachfolger, d.h. eine um den Wert 1 größere Zahl. Zwischen einer natürlichen Zahl n und ihrem Nachfolger (n + 1) liegt keine weitere natürliche Zahl. Wie bei Zahlen üblich, gibt es keine größte natürliche Zahl, da du immer wieder den Wert 1 hinzuzählen (addieren) kannst.

Das Formelzeichen für die Menge der natürlichen Zahlen ist ein N mit einem Doppelstrich in der Mitte.

N = {x | x > 0 ∧ (x = x + 1)}

Den ersten Teil der oben stehenden „Hieroglyphen“ kennst du ja bereits: Das N steht für die Menge der natürlichen Zahlen. In der geschweiften Klammer hinter dem Gleichheitszeichen steht die Bedingung für die Elemente (x |), die sie erfüllen müssen: das Element (x) ist größer als die Zahl 0, also positiv (x > 0). Das kleine Dach (∧) bedeutet »und«, also existiert noch eine weitere Bedingung für die Zugehörigkeit zur Menge der natürlichen Zahlen: das Element (x) ist eine Zahl, die um den Wert 1 größer ist als ihr Vorgänger. Diese Definition enthält die Zahlen 1, 2, 3, 4, …

Oftmals siehst du auch, dass die Zahl 0 zu den natürlichen Zahlen gezählt wird. Dies ist nicht falsch, sondern stammt daher, dass erst ab dem 13. Jahrhundert in Europa mit der Null gerechnet wurde.

N₀ = {x | x ≥ 0 ∧ (x = x + 1)}

Den Großteil der oben stehenden „Hieroglyphen“ kennst du ja bereits: Das erste Neue ist die Mengenbezeichnung: sie lautet nun ℕ0 und kennzeichnet, dass die Zahl 0 dazugehört. Das andere Neue ist die erste Bedingung, für die Elemente (x |): das Element (x) ist größer als oder gleich die Zahl 0, also auch wieder positiv (x ≥ 0). Nur das dieses Mal auch die Zahl 0 dazugehört. Diese Definition enthält daher die Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, …

Die Menge der natürlichen Zahlen ist die kleinste Zahlenmenge. Sie enthält alle positiven Zahlen ohne Nachkommastellen.